圆的面积公式

结论

对于半径为 $R$ 的圆，其面积 $S=R^2\pi$。

推导

我们都知道圆的方程的标准式为 $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=R^2$。但是由于一个圆的面积与它所处的位置没有关联，因此我们假定 $a=b=0$，即 $x^2+y^2=R^2$。

利用等式的基本性质进行变形，可以得到 $y=\pm \sqrt{R^2-x^2}$。由于圆的上半部分与下半部分面积相等，因此我们只计算上半部分的面积，结果乘 $2$ 即可。将 $y$ 积起来得到面积

$$S=2{\int }_{-R}^R\sqrt{R^2-x^2}\text{d}x$$

这时我们发现不好直接求，因此需要转化。我们使用三角替换法。设当前在图像上的点与原点的连线与 $x$ 轴之间的夹角为 $\theta$，此时会形成直角三角形。已知斜边为 $R$，那么底边的长度，也是 $x$ 的坐标也为 $R\cos \theta$。

我们将 $x=R\cos \theta$ 代入到 $\sqrt{R^2-x^2}$ 中，得到 $\sqrt{R^2-x^2}=\sqrt{R^2-R^2{\sin }^2\theta }=R\cos \theta$。代入原积分式中，得到面积

$$S=2{\int }_{-\pi /2}^{\pi /2}{R}^2{\cos }^2\theta \text{d}\theta$$

将 $R^2$ 提到外面去，得到

$$S=2R^2{\int }_{-\pi /2}^{\pi /2}{\cos }^2\theta \text{d}\theta$$

利用公式 ${\cos }^2\theta =\frac{1+\cos 2\theta }{2}$ 来进行简化，得到

$$\begin{array}{rl}S& =2R^2{\int }_{-\pi /2}^{\pi /2}\frac{1+\cos 2\theta }{2}\text{d}\theta \\ & =R^2\left({\int }_{-\pi /2}^{\pi /2}1\text{d}\theta +{\int }_{-\pi /2}^{\pi /2}\cos 2\theta \right)\end{array}$$

$1$ 是常数项，因此括号内的第一项可以直接得到 $\pi$。对于后面的一项，有 $\int \cos \theta =\sin \theta +C$，用原函数作差可以得到

$$\begin{array}{rl}{\int }_{-\pi /2}^{\pi /2}\cos 2\theta & =(\sin \pi +C)-(\sin -\pi +C)\\ & =\sin \pi -\sin -\pi \\ & =0\end{array}$$

因此面积

$$\begin{array}{rl}S& =R^2\left({\int }_{-\pi /2}^{\pi /2}1\text{d}\theta +{\int }_{-\pi /2}^{\pi /2}\cos 2\theta \right)\\ & =R^2(\pi +0)\\ & =R^2\pi \end{array}$$