2024.11.15 笔记

第一题

数轴 行程问题 小学奥数

题面

甲乙同时从 $A$ 地出发，前往 $B$ 地。一开始，$v_{甲}=\frac{6}{5}{v}_{乙}$。$D$ 是 $AB$ 的中点，$C$ 点在 $D$ 点的左边 $20\text{km}$，$E$ 点和 $F$ 点分别在 $C$ 点的左边和右边，其中 $F$ 点在 $C,D$ 的中间，满足 $EC=CF$。甲走到 $C$ 点的时候乙此时在 $E$ 点，这时甲开始睡觉，睡醒后乙在 $F$ 点。乙经过 $C$ 点时提速 $\frac{1}{2}$，甲醒来时提速 $\frac{1}{3}$，最终同时到达 $B$ 点，求 $A,B$ 之间的距离。

解法

（单位均为 $\text{km}$）

我们不妨采用方程思想解决。设 $AB$ 之间的距离为 $x$，那么由于 $D$ 是 $AB$ 的中点，因此 $AD=DB=\frac{x}{2}$。题目中已经告诉了我们 $CD$ 距离为 $20$，因此 $AC=\frac{x}{2}-20$，$CB=\frac{x}{2}+20$。

注意到，甲和乙同时到达了 $C$ 和 $E$。时间一样，那么路程比就等于速度比。甲和乙的速度比是 $6:5$，那么 $AE:AC$ 也为 $6:5$，即 $EC=\frac{1}{6}AC=\frac{x}{12}-\frac{10}{3}$。由于 $CE=CF$，因此 $FB=CB-CF=\frac{x}{2}+20-\frac{x}{12}+\frac{10}{3}=\frac{5x}{12}+\frac{70}{3}$。

再次根据相同时间路程比等于速度比，甲从 $C$ 到 $B$ 的时间与乙从 $F$ 到 $B$ 的时间相等，而甲和乙提速之后速度比为 $6\times \frac{4}{3}:5\times \frac{3}{2}=8:\frac{15}{2}=16:15$，那么有

$$\frac{\frac{x}{2}+20}{\frac{5x}{12}+\frac{70}{3}}=\frac{16}{15}$$

最终解得 $x=88$，也就是 $AB$ 之间的距离为 $88\text{km}$。

总结

在面对这种行程问题时，使用方程思想是一个不错的选择，它能化未知的为已知的，但是找等量关系时需要一定熟练度。同时，速度比、时间比与路程比之间的关系也需要熟练掌握，若掌握不熟练的话也可以选择设而不求，但是这可能会造成更大的麻烦。同样的，本题也考察了一定的计算能力，特别是分数的处理，需要避免在运算过程中出现错误。

第二题

图形题 全等 等腰 等边 圆 圆周角定理

题面

已知 $\angle C=40°$，$\angle DAC=60°$，$BD=AC$，求 $\angle B$。

解法

首先，我们发现了一个 $60°$ 的角，很容易想到等边或许是解开这道题的金钥匙，因此我们就以 $AC$ 为其中一边，作等腰三角形 $\Delta ACF$ ¹，连接 $BF$。由于题目中已经给出了 $\angle C=40°$，因此我们可以得到 $\angle DCE=20°$。

根据三角形内角和为 $180°$ 定理，我们不难得出 $\angle EDC=100°$，$\angle EDB=80°$。看到 $80°$ 和 $20°$，我们来思考一下他们之间有什么关系——对了，$2\times 80°$ 加上 $20°$ 正好是 $180°$，也就是说我们可以构建顶角为 $20°$、底角为 $80°$ 的等腰三角形。这是这道题的关键。我们在 $BD$ 上作点 $E$ 使 $\angle DFE=20°$ ²，那么 $\angle EFD=\angle FDE=80°$，$\Delta EFD$ 是个等腰三角形。同时，由于 $\angle AEC=60°$，因此 $\angle CEF$ 也是一个顶角为 $20°$ 的等腰。

此时神奇的一部就来了，题目中给出了 $BD=AC$，正常来看这个条件根本无法用上，但是我们做了等腰就有了无穷的可能。因为 $BD=AC$、$AC=CF$、$CF=CE$，因此 $BD=EC$。根据等式的基本性质，我们还能得到 $BE=DC$。

再看一眼图像，貌似 $\Delta BEF$ 与 $\Delta CED$ 是全等的，但是需要证明。我们有 $\angle BFE=\angle EDC$、$EF=FD$，刚才还推出了 $BF=DC$，因此通过「边角边」（SAS）的方式我们成功证明了两个三角形全等。

有了全等，我们可以得出 $EB=EC$。结合等边三角形中的 $EC=EA$，我们可以得出 $E$ 是 $\Delta ABC$ 的外心（外接圆的圆心）。那么我们可以看做 $AC$ 是圆上的一弦。根据「圆周角定理」³，我们可以得出 $\angle ABC=\frac{1}{2}\angle AEC=30°$。至此，本题得解。

格式

采用考试时标准格式。

$$\begin{array}{rl}\text{解：}& \text{延长 }AD\text{ 至 }F\text{ 使 }AF=AC\\ & \because \angle FAC=60°,AF=AC\\ & \therefore \Delta AFC\text{ 为等腰 }\Delta \\ & \therefore \angle ACF=\angle AFC=60°\\ & \therefore \angle DCF=\angle ACF-\angle DCA=60°-40°=20°\\ & \because \text{在 }\Delta ADC\text{ 中}\\ & \therefore \angle ADC=180°-\angle DAC-\angle DCA=80°\\ & \therefore \angle FDC=\angle ADC=80°\\ & \text{在 }BD\text{ 上作点 }E\text{ 令 }\angle FED=80°\\ & \because \angle FED=\angle FDE=80°\\ & \therefore \Delta FED\text{ 为等腰 }\Delta \\ & \therefore \angle EFD=20°\\ & \therefore \angle EFC=\angle EFD=\angle DFC=80°\\ & \because \angle CFE=\angle CEF\\ & \therefore \Delta CFE\text{ 为等腰 }\Delta \\ & \because AC=CF,CF=EC,BD=AC\\ & \therefore BD=EC\\ & \therefore BE=DC\\ & \because \text{在 }\Delta BEF\text{ 与 }\Delta FDC\text{ 中}\\ & \{\begin{array}{l}\angle BEF=\angle FDC\\ BF=DC\\ EF=FD\end{array}\\ & \therefore \Delta BEF≌\Delta CDF\text{(SAS)}\\ & \therefore BF=FC\\ & \because FC=FA\\ & \therefore FB=FA=FC\\ & \therefore F\text{ 为 }\Delta ABC\text{ 外心}\\ & \therefore AC\text{ 为一弦}\\ & \begin{array}{rl}\therefore \angle B& =\frac{1}{2}\angle AFC\\ & =\frac{1}{2}\times 60°\\ & =30°\end{array}\end{array}$$

总结

在面对图形题的时候需要产生一定的条件反射——例如出现 $60°$ 就要想到等边三角形、出现 $30°,45°,60°$ 就要想到三角函数。同样的，等腰三角形也经常出现在图形题当中。本题的 $20°,80°$ 等腰三角形就是好渴鹅前所未见的，因此构造等腰三角形一定要有随机应变的能力，利用等腰三角形构造显而易见的全等或相似，从而解得题目。

第三题

方程 质因数分解 因式分解 大除法 一元二次方程

题面

解方程：$(x+2)(x+3)(x+4)=210$。

解法

看到左边是多个式子的乘积，我们很容易想到对于右面的 $210$ 进行质因数分解，得到 $210=2\times 3\times 5\times 7$，合并一下就能得到连续的三个整数的乘积 $210=5\times 6\times 7$，因此解得 $x=3$……吗？

需要注意的是，我们并不确定本题只存在一个解，有可能有其它的解我们没有考虑。况且就算认定了只有这一个解，我们也需要证明不存在其它解。为了找到其它的解，我们不难移项使等号右边变为 $0$，然后再将左项进行因式分解。

这里我们已经找出了一个合适的解 $x=3$，那么分解出的因式当中必然会有一个因式 $x-3$。既然已经知道了其中的一个因式，不妨使用大除法⁴对其进行因式分解。首先我们将其展开：

$$(x+2)(x+3)(x+4)=x^3+9x^2+26x-186$$

然后对其进行大除法

$$\begin{array}{rc}& x^2+12x+62\\ & x-3\sqrt{x^3+9x^2+26x-186}\\ & x^3-3x\\ & 12x^2+29x-186\\ & 12x^2-36x\\ & 62x-186\\ & 62x-186\\ & 0\end{array}$$

因此我们得到了 $x^3+9x^2+26x-186=(x-3)(x^2+12x+62)=0$。前面的式子解为 $0$，后面的式子由于 $\Delta <0$ 因此没有实数解。（初中不考虚数）因此，本题只有一个解 $x=3$。

总结

这种题目相信我们已经做过很多遍了，大概的策略也都熟悉，但是千万不要脱口而出「答案就是 $3$」（美公鸡行为）在确定答案之前，一定要证明答案是否只有一个，不要遗漏情况。

第四题

图形 等边 全等 截长补短

题面

$\Delta ABC$ 是等边三角形，外有一点 $P$，$\angle BPA=60°$。证明： $PA=PB+PC$。

解法

首先，我们看到 $60°$ 就能很快地想到等边三角形，因此我们在 $AP$ 上作点 $D$ 使 $\Delta BDP$ 为等腰三角形⁵。此时 $DP=BP$，我们只需要证明 $CP=DA$ 即可。

证明线段的相等考虑全等。不难发现疑似全等的是 $\Delta DAB$ 与 $\Delta PCB$ 这一对。我们已经有了 $BC=AC$ 和 $BP=BD$，我们再证明一下 $\angle ABD=\angle CBP$ 就行。

由于 $\Delta ABC$ 和 $\Delta DBP$ 是等边三角形，因此 $\angle ABC=\angle CBP=60°$。根据等式的基本性质，两边同时减去 $\angle DBC$，就能得到 $\angle ABD=\angle CBP$，因此全等得证，本题也就顺利解出。

格式

$$\begin{array}{rl}\text{解：}& \because \Delta ABC\text{ 为等边 }\Delta \\ & \therefore \angle ABC=60°,AB=BC\\ & \text{在 }AB\text{ 上作点 }D\text{ 使 }\angle DBP=60°\\ & \because \angle DBP=\angle BPD=60°\\ & \therefore \Delta BDP\text{ 为等边 }\Delta \\ & \therefore BD=BP=DP\\ & \because \angle ABC=\angle DBP=60°\\ & \therefore \angle ABD=\angle CBP\\ & \because \text{在 }\Delta DAB\text{ 与 }\Delta PCB\text{ 中}\\ & \{\begin{array}{l}BD=BP\\ AB=BC\\ \angle ABD=\angle CBP\end{array}\\ & \therefore \Delta DAB≌\Delta PCB\\ & \therefore AD=CP\\ & \because AP=AD+DP,DP=BP\\ & \therefore AP=PB+PC\end{array}$$

总结

本题与 第一题 比较接近，都是给出 $60°$ 的角构造等边三角形，并利用等边三角形的性质证明全等从而使用等量代换得解。需要注意的是，本题当中 $\Delta PCA$ 与 $\Delta ADB$ 并不全等，有时我们的直觉也不一定是对的，千万不要把原本不全等的一对三角形证明成全等的了。

Footnotes

1. ↩

2. ↩

3. 圆上一弦的圆周角是圆心角的一半。 ↩

4. 又称「多项式长除法」。 ↩

5. ↩