永志鹅定理

定理内容

对于任意反比例函数 $y=\frac{m}{x}$ $(m\ne 0)$ 和一次函数 $y=kx+b$ $(k\ne 0)$，它们间有两交点 $A,B$（保证有两个交点），一次函数交坐标轴于 $C,D$，证明 $AC=BD$。（此处 $C,D$ 交 $x$ 轴或 $y$ 轴均可，无影响）

代数证明

令 $C$ 为与 $y$ 轴交点，$D$ 为与 $x$ 轴交点，则 $C(0,b),D(\frac{-b}{k},0)$。

对于 $A,B$

$$\{\begin{array}{l}y=\frac{m}{x}\\ y=kx+b\end{array}$$

联立得 $\frac{m}{x}=kx+b$，又交点 $x$ 坐标不为 $0$，因此

$$k{x}^2+bx-m=0$$

令其两个根为 $x_1,x_2$，由 韦达定理 得

$$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=\frac{-b}{k}\cdots ①\\ x_1{x}_2=\frac{-m}{k}\cdots ②\end{array}$$

令 $\Delta x_{AB}$ 表示为 $A$ 与 $B$ 之间的 $x$ 坐标之差，则

$$\{\begin{array}{l}\Delta x_{AC}=|x_1|\cdots ③\\ \Delta x_{BD}=|x_2+\frac{b}{k}|\cdots ④\end{array}$$

由 $①$ 得，

$$x_2+\frac{b}{k}=-x_1$$

代入 $④$ 得

$$\Delta x_{BD}=|-x^1|=|x_1|-\Delta x_{AC}$$

又 $k_{BD}=k_{AC}$（在同一直线上），因此 $AC=BD$。

几何证明

过 $A,B$ 作坐标轴的垂线段于 $E,F$

$$\begin{array}{rl}& 0=0\\ & \Rightarrow k\cdot \frac{-b}{k}+b=0\\ & \Rightarrow k{x}_2+b=-k{x}_1\\ & \Rightarrow \frac{k{x}_2+b}{-x_1}=k\\ & \Rightarrow k_{EF}=k_{AB}\\ & \Rightarrow EF\parallel AB\\ & \Rightarrow 四边形EFCA,EFBD是平行四边形\\ & \Rightarrow EF=AC=FB\\ & \Rightarrow AC=FB\end{array}$$