警告
本笔记暂未完成，会在本周周末缓慢完成。
第一题
题面
第一小题
已知 ，求 的值。
第二小题
已知 ，求 的值。
解法
第一小题
注意
好渴鹅使用了是在直接计算与简便方法直接折中的方式，换元法。使用换元法后可以使直接计算的复杂程度低于简便计算，且无脑。
提示
本题中的「得到」部分指「能推出」（即符号 ）而非「等价」，即 能推出 但 不一定能推出 。
首先我们发现两个根式里面，，因此我们令 ，原式则可以变为 。两边同时平方，得到 。
和根式移一下，得到 。再平方，得到
此时方程就能解了，移项得到 ，解得 。代入 的定义式中，得到 ，变形得到 ，最终解得 。
注意：此时一定要将 的所有值代入原式内进行验算，因为实际上运算平方会扩大解集，这也代表着所有解必定会在平方之后内的解集内，但是平方之后的解集内并不是所有解都能满足条件（即相反数的平方相等，立方没这个问题），因此需要验算。经过验算 这个答案没有问题。
第二小题
有了第一小题的经验，第二小题就很简单了。令 ，则原式可以写成 。两边平方得到 。
和根式移一下，得到 。再平方，得到
解得 ，代入 的定义式的 ，简化为 ，解得 ，也就是 。代入方程验算，均没有问题。
总结
对于这种两个根号相加的复杂一元二次方程，如果你的计算能力不足，不喜欢太长的方程，由不会使用数形结合的方法求解，那么换元法就是一个不错的选择。需要注意的就是 第一小题 的注意里面的内容，对于方程，如果两边同时平方了可能会扩大解集，这时候可以选择将求出的解代入进去验算。（同样有这种问题的还有绝对值方程，使用平方法的时候也需要注意）
第三题
题面
已知 ，求 的值。
解法
我们很容易可以猜出 为其中的一个解，因为一个不为 的数的 次方等于 。但是如果你仅限于这样，那么等待你的就是一把大叉，毕竟答案不应该只有这么一个。对于本题，我们需要分类讨论思想。
- 第一种情况：任意不为 的数的 次方为 ，那么则有 ，解得 为其中一个解。
- 第二种情况： 的任意次方仍为 ，那么有 ，解得 为其中一个解。
- 第三种情况：这也是最容易漏的一种情况，则是 的偶数次方为 ，有 ，解得 。
综上， 的值为 和 。
总结
好渴鹅在课上已经想出了第一二种情况，但是第三种情况始终没有思考出来，对于这个「偶数平方」的细节也需要加倍注意，不能在这种题目上丢分。
第四题
题面
已知 ，求 的值。
解法
首先我们肯定不会去解出方程之后代入，虽然简单又暴力，但是好渴鹅的垃圾运算水平不支持他使用这种解法，因此我们考虑对方程变形，得到 。
欸，思路不就来了吗？我们把 带入到代数式当中，其等价于 ，我们再通分、相加，正好使用平方差公式，得到 ，再将 代入其中就可以得到 ，即 。
总结
本道题好渴鹅在课堂上已经想到了将 进行代入，但是好渴鹅在后面的想法不是通分相加，而是将其全部乘上 。虽然分母没有了但是仍然需要对方程进行求解，而上述方法就没有这个问题。因此我们对于含有分式的代数式一定要先通分，一个是为了防止算错，一个是查看是否不需要乘上分母也可以解决问题。
第五题
题面
已知 ，求 的值。
解法
首先我们不难发现，如果左边是 的形式的话，那么 就为 ， 的值就为 ，代入发现是对的。但是问题就来了：我们该怎样写出过程并证明答案有且仅有这么一个呢？
此时我们可以进行中值换元。令 ，那么原式可以写成 的形式。既然我们期盼左边为 的形式，不如把 进行移项，拆成 的形式并放进分子，即 ，化简的得到 。
不难发现它们的分子都相同，因此可以使用乘法分配律进行因式分解（即提公因式法），得到 。由于前面两个分数相加肯定不为 ，那么后面一定为 。最终解得 。
这还没完，我们需要带回 的定义里去，求出 。由于 ，变形得到 ，即 。
总结
这种类型的题目已经做过很多次了，但是每次重新考到的时候都不知道如何求，其实本题就是一个很好的例子。对于绝大部分可以一眼看出的题目，我们都可以使用这种思路：通过移项使右边为 然后使用因式分解（需要结合自己猜出的根）将左边分解为多个式子的乘积，此时就好做了。