2024.12.20 笔记

第一题

二次函数 最值问题 一元二次方程

题面

已知 $a,b$ 均为实数，$3a+4b=12$，求 $ab$ 的最大值。

思路

思路一

首先，我们对 $3a+4b=12$ 进行变形得到 $4b=12-3a$，也就是 $b=\frac{12-3a}{4}$。然后将其带入 $ab$ 中得到 $\frac{-3a^2+12a}{4}$，我们需要求这个式子的最大值。

不难发现分子是二次项系数小于 $0$ 的二次函数，而现在我们需要求他的最大值。自然想到二次函数对称轴上的点为最值点，而对称轴的 $x$ 坐标为 $\frac{-b}{2a}$，代入系数 $a$ 和 $b$ 就是 $\frac{-12}{2\times -3}=2$。

再将 $a=2$ 代入到式子当中，值为 $-3\times 2^2+12\times 2=-12+24=12$，原式的最大值也就为 $3$。

本方法通过等式的性质将 $b$ 改写成一个含有 $a$ 的式子，再将 $b$ 代入到要求的式子当中得到新的只包含 $a$ 的式子（也就是代入消元法）。发现新式子是一个二次式，再通过二次函数的性质即可求出最值。

思路二

我们令 $x=3a+6,y=4b-6$，则 $x+y=3a+6+4b-6=12$。那么 $xy=(3a+6)(4b-6)=3a4b+

第二题

超越方程 对数 方程 分类讨论

题面

解方程 $4^{-x}=x$。

思路

思路一

首先，我们将两边同时乘 $4^x$，得到 $x\cdot 4^x=1$。发现不好搞，通过换底公式将 $x$ 换成 $4^{{\log }_{4}x}$。再通过幂的运算定律，得到 $4^{{\log }_{4}x+x}=1$。我们知道只有 $4^0=1$，因此 ${\log }_{4}x+x=0$。

很容易猜出 $x=\frac{1}{2}$ 是其中的一个根，此时 ${\log }_4\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=0$，看起来像是对的，并且我们也似乎很难找到其它的根。因此我们只需要验证只有这一个根。

由于 ${\log }_{4}x$ 的存在，$x$ 必须满足 $x>0$，而 ${\log }_{4}x$ 在 $x>0$ 的范围里面是严格单调递增的。将 ${\log }_{4}x+x=0$ 变形得到 ${\log }_{4}x=-x$，$-x$ 是严格单调递减的，因此 $x$ 只有一个解，为 $\frac{1}{2}$。

思路二

我们同样变换为 $x\cdot 4^x=1$，但是我们不使用上面的思路，而是将 $4^x$ 移到右边得到 $x=\frac{1}{4^x}$。然后取倒数得到 $\frac{1}{x}=4^x$。注意到，$4^x$ 实际上等于 $2^{2x}$，因此 $\frac{1}{x}=2^{2x}$。此时关键的一步来了，我们对等式两边取 $\frac{1}{x}$ 次方，得到 ${\left(\frac{1}{x}\right)}^{\frac{1}{x}}=2^{2x\times \frac{1}{x}}$，也就是 ${\left(\frac{1}{x}\right)}^{\frac{1}{x}}=2^2$，接下来进行分类讨论。

• 若 $\frac{1}{x}>0$， 则 $\frac{1}{x}=2$，即 $x=\frac{1}{2}$，满足条件且经验证为原方程解；
• 若 $\frac{1}{x}<0$，则 $\frac{1}{x}$ 可以为 $-2$ 但是必须为 $2$，自相矛盾。

因此本题答案为 $x=\frac{1}{2}$。

总结

本题的两种方法虽然在后面计算过程中有差别，但是实际上最前面都将原方程变形为了 $x\cdot 4^x=1$，只是在后面的思路上，一个使用换底公式将其底数全部换成 $4$ 再通过 $4^0=1$ 的性质求解，一个是先做倒数将其变为 ${\left(\frac{1}{x}\right)}^{\frac{1}{x}}=k^k$ （其中 $k$ 是确定的常数）的形式来求解的。本题极大的考验了恒等变形的能力，需要有活跃的思想进行求解。

第三题

反比例函数 二元二次方程 全等 分式方程

题面

平面直角坐标系的第一象限内有两点 $A,B$，其中 $A$ 的坐标为 $(m,2)$，$O$ 为原点，满足 $OA=AB$，且 $\angle OAB=90°$。有一反比例函数经过 $A,B$ 两点，求该反比例函数的解析式。

思路

首先我们自然是要找到 $B$ 的坐标，不难发现 $B$ 只可能在 $A$ 的右下方，否则就不在第一象限内了。过 $A$ 点做 $x$ 轴的垂线，垂足为 $C$。过 $B$ 做 $AC$ 的垂线，垂足为 $D$。在 $\Delta AOC$ 与 $\Delta BAD$ 两个三角形中，有 $OA=AB$、$\angle ACO=\angle BDA$ 和 $\angle CAO=\angle DBA$，因此我们可以通过角角边的方式证明 $\Delta AOC≌\Delta BAD$。

由于它们全等了，因此 $AC=OD=m$，$DB=AD=2$，即 $B$ 坐标为 $(m+2,2-m)$。接下来我们设反比例函数的解析式为 $y=\frac{k}{x}$，则有

$$\{\begin{array}{l}\frac{k}{m}=2①⟺k=2m\\ \frac{k}{m+2}=2-m②\end{array}$$

将 $k=2m$ 代入到 $②$ 里面，得到 $\frac{2m}{m+2}=2-m$。假定 $m+2\ne 0$，将等式两边同时乘 $m+2$，右边运用平方差公式得到 $2m=-m^2+4$，移项得到 $m^2+2m-4=0$。

$\Delta =b^2-4ac>0$，有两实数根。利用一元二次方程的求根公式 $m=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ 得到 $m=\frac{-2\pm \sqrt{2^2+4\times 4}}{2}=-1\pm \sqrt{5}$，得到 $k=2m=-2\pm 2\sqrt{5}$。经检验其确实为原方程组的合法解（$m+2\ne 0$），但是由于 $A,B$ 都是在第一象限内，因此 $k>0$，因此 $k$ 只能为 $-2+2\sqrt{5}$。

因此答案为 $y=\frac{-2+2\sqrt{5}}{x}$。

总结

本解法为常规解法，先找到 $B$ 的坐标再列出方程求解即可得到解析式。不过找到 $B$ 的坐标的方式除了可以使用全等以外还可以进行使用一线三垂直模型得到，不过后期的方程求解过程是相似的。