2025.1.15 笔记

文件头

提示

由于好渴鹅平日里天天上课，没有什么时间来写总结，因此本次总结所有的图形题均没有例图，采用纯文字描述。

题目

第一题

三角函数 正弦 等面积法 等高模型

题面

在三角形 $\Delta ABC$ 中，$D$ 点在 $BC$ 上，$AB=6$，$AC=8$，$\angle BAD=30°$，$\angle CAD=45°$，求 $\frac{BD}{DC}$。

解法

乍一看，好像发现不了任何突破口。没有相似和全等，啥都不知道，就要求 $BD$ 和 $DC$ 的比值。但是，经过仔细的观察，我们已知的两个角都用我们知道的边，因此很容易想到三角函数面积公式。即 $S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}\sin \angle A\cdot AB\cdot AC$。

我们将三角函数面积公式套到两个小的三角形 $\Delta ABD$ 和 $\Delta ADC$ 当中，$AD$ 不知道就保留，可以得到它们两个的面积

$$\{\begin{array}{l}{S}_{\Delta ABD}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot 6\cdot AD\\ S_{\Delta ADC}=\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot 8\cdot AD\end{array}$$

此时不难发现 $\Delta ABD$ 和 $\Delta ADC$ 两个是等高三角形，也就是说它们的面积比等于底的比。而底正好是 $BD$ 和 $DC$，因此

$$\begin{array}{rl}\frac{BD}{DC}& =\frac{S_{\Delta ABD}}{S_{\Delta ADC}}\\ & =\frac{\frac{1}{2}\times 6}{\frac{\sqrt{2}}{2}\times 8}\\ & =\frac{3}{4\sqrt{2}}\\ & =\frac{3\sqrt{2}}{8}\end{array}$$

总结

本道题目考到了三角函数面积公式和等高模型，利用了已知的夹角得到 $\sin$ 值，得到了两个小三角形的面积，使用等高模型得到三角形面积比等于底的比，并使用一条公用的边 $AD$ 在最后约掉。

第二题

勾股定理 设未知数 完全平方 证明题

题面

在三角形 $\Delta ABC$ 当中，$AB=AC=8$，$P$ 是 $BC$ 上一点，$BP=4$，$PC=7$，求 $AP$ 的值。即证明 $A{B}^2=A{P}^2+BP\cdot PC$。

解法

过 $A$ 点在 $BC$ 上作点 $D$ 使得 $AD\perp BC$。设 $PD=x$，利用勾股定理，有 $A{B}^2=A{D}^2+B{D}^2$，代入 $x$ 得 $A{B}^2=A{D}^2+(BP+x{)}^2$。

不难发现 $AD$ 可以使用 $x$ 和 $AP$ 表示出来，即 $A{B}^2=A{P}^2-x^2+(BP+x{)}^2$。利用完全平方公式将后面展开得到 $A{B}^2=A{P}^2-x^2+B{P}^2+x^2+2BP\cdot x$。化简得到 $A{B}^2=A{P}^2+BP(BP+2x)$。

此时发现 $BP+2x$ 就等于 $PC$，因此 $A{B}^2=A{P}^2+BP\cdot PC$，原命题得证。

总结

本道题目考验了设未知数以及使用勾股定理的能力，并利用完全平方公式展开在最后将 $x$ 消去从而打得到结论。原题目非证明题，因此此结论需要进行背诵。

第三题

不等式 取值范围 反证法

题面

已知 $a+b+c=0$，且 $a>b>c$，求 $\frac{c}{a}$ 的取值范围。

解法

首先，我们可以对利用等式的基本性质对等式进行变形，得到 $b=-(a+c)$。由于 $a>b>c$，我们代入 $b$ 的值，可以得到 $a>-(a+c)>c$。

• 对于 $a>-(a+c)$，解得 $c>-2a$；
• 但对于 $-(a+c)>c$，解得 $c<-\frac{a}{2}$。

综合得到 $-2a<c<-\frac{a}{2}$，此时与答案已经很接近了。容易证明 $a>0$，因为若 $a\ne 0$，则 $a+b+c$ 一定小于 $0$，因此 $a>0$（反证法）。因此我们利用不等式的基本性质对上述不等式进行变形就可以得到 $-2<\frac{c}{a}<-\frac{1}{2}$。

因此 $c\in \left(-2,-\frac{1}{2}\right)$。

总结

对于这种式子求范围的题目，我们可以先从题目出发，对等式进行变形，将其中的一个字母使用其他字母表示出来，再代入题目给出的不等式，解出单个字母的取值范围之后进行变形即可。

第四题

绝对值非负性 平方非负性 二次根式双重非负性 不等式组

题面

已知 $a,b,x,y\in \mathbb{R}$，且

$$\{\begin{array}{l}y+\left|\sqrt{x}-2\right|=1-a^2\\ |x-4|=3y-3-b^2\end{array}$$

求 $a+b+x+y$ 的值。

解法

对二式进行变形得到 $3(y-1)=|x-4|+b^2\ge 0$，因此 $y$ 满足 $y\ge 1$。对一式进行变形，得到 $1-y=\left|\sqrt{x}-2\right|+a^2\ge 0$，因此有 $y\le 1$。因此 $y$ 只能取 $1$。

代入二式，得 $|x-4|=-b^2$，由于 $|x-4|\ge 0$ 且 $-b^2\ge 0$，又一式当中出现了 $\sqrt{x}$（实数范围内根号下不能为负数），因此 $x=b=0$，代入一式还能得到 $a=1$。

因此 $a+b+x+y=0+0+4+1=5$。

总结

对于这种只给了两个式子却有超过两个未知数、求某个式子的值的题目，一般只有两种方法：将要求的式子视为整体或利用平方、平方根和绝对值的非负性进行求解。本题当中 $a+b+x+y$ 很显然无法视为整体，因此使用第二种方法进行求解。

另外是特殊的不等式 $\{\begin{array}{l}x\ge k\\ x\le k\end{array}\Rightarrow x=k$，这个简单的原理经常被人忽略，但在这道题目当中得到了充分的发挥，需要着重注意。

第五题

物理 电阻 串联 并联 无穷级数 一元二次方程 换元法 欧姆定律

信息

这是一道物理电学题，但是仍然没有图。

题面

一个电路，首先在电源两旁串联三个电阻，在三个电阻之间的两条导线上任选两个节点，沿这两个节点新建支路，支路上串联三个电阻，在三个电阻之间的两条到线上任选两个节点，沿这两个节点新建支路，重复上述操作。所有单个电阻阻值均为 $R\text{Ω}$，求总电阻。

总结

既然要我们求出总电阻了，那么这个结果一定是趋向于某一个特定值的。我们知道，在串联电路当中，两个阻值分别为 $R_1$ 和 $R_2$ 的电阻的总电阻为 $R_1+R_2$；而在并联电路当中，两个阻值分别为 $R_1$ 和 $R_2$ 的电阻的总电阻为 $\frac{R_1\cdot R_2}{R_1+R_2}$。我们需要应用这个结论。

观察电路图，可以发现这个电路的结构是：两边各串一个电阻，中间并联两支路，一支路一电阻，一支路两边各串一个电阻，中间并联两支路，一支路一电阻，一支路两边个串一个电阻，中间并联两支路……一直循环下去，因此总电阻

$$R_{总}=2R+\frac{R\cdot \left(2R+\frac{R\cdot (2R+\cdots )}{R+(2R+\cdots )}\right)}{R+\left(2R+\frac{R\cdot (2R+\cdots )}{R+(2R+\cdots )}\right)}$$

不难发现这一整个重复了多变，因此我们将整体设为 $A$，则

$$A=2R+\frac{R\cdot A}{R+A}$$

去分母，得到

$$AR+A^2=2R^2+2AR+AR$$

整理得到

$$A^2-2AR-2R^2=0$$

通过一元二次方程的万能公式，我们可以解出

$$A=\frac{2+\sqrt{(-2R{)}^2-4\times 1\times (-R^2)}}{2}=\frac{2+2\sqrt{2}R}{2}=1+\sqrt{2}R$$

因此总电阻为 $\left(1+\sqrt{2}R\right)\text{Ω}$。

总结

本道题是一道披着物理外衣的数学题，首先需要明白欧姆定律以及串并联电路当中的电阻特征，再结合图中信息列出计算式，使用换元法代入之后解一元二次方程即可。

特殊题目

运动 直线运动 牛顿第二定律 加速度 反比例函数 积分 导数

信息

本道题目为好渴鹅自己出的物理题目。

题面

小行星从与地球重合开始往地球外沿直线飞去，拥有初速度 $v_0$ $\text{m}/\text{s}$，其质量为 $m$ $\text{kg}$，所受引力与离地距离成反比，乘积为 $k$ $\text{N}\cdot \text{m}$（即所受引力 $G=\frac{k}{x}$）。发现小行星的速度函数是收敛的，求速度函数表达式。

解法

不会求，因为加速度函数需要它的积的积，也就是位移函数，怎么办？不只是这道题，假如一个导函数的解析式需要用到原函数，怎么求积？

直线方程

表达方式

一般式

$ax+by+c=0$（$a,b$ 不同时为 $0$），适用于任意直线。斜率 $k=-\frac{a}{b}$，横截距 $-\frac{c}{a}$，纵截距 $\frac{c}{b}$。

点斜式

$y-y_0=k(x-x_0)$，要求直线不垂直于 $x$ 轴。斜率为 $k$，过 $(x_0,y_0)$。

截距式

$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$，要求直线不过原点、不与 $x$ 轴和 $y$ 轴垂直。$x$ 轴截距为 $a$，$y$ 轴截距为 $b$。

两点式

$\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}$，表示过 $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$ 两点的直线。

计算距离

点到直线距离

点 $(x_0,y_0)$ 到直线 $ax+by+c=0$ 的距离为

$$\frac{|a{x}_0+b{y}_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

直线间距离

对于两条平行的直线 $ax+by+c_1=0$ 和 $ax+by+c_2=0$，两直线间距离为

$$\frac{|c_1-c_2|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$