2025.1.8 笔记

题目

第一题

方程 高次方程 因式分解 大除法 分类讨论

题面

解方程：$x^9+x^8=x^7+x^6$。

解法

解法一

首先我们一眼就能猛出一个解 $x=0$，因此进行分类讨论。

• 当 $x=0$，满足原方程，因此有一解 $x=0$；
• 若 $x\ne 0$，则原式两边同时除以 $x^6$，得到 $x^3+x^2=x+1$。

对于第二种情况，移项可以得到 $x^3+x^2-x-1=0$。这是一个高次方程，解决高次方程最简单的方式就是进行因式分解。

采用试根法发现 $x=1$ 是方程的其中一解，因此左式必定有一个因式 $x-1$。使用大除法进行因式分解就可以得到该式子等于 $(x-1)(x^2+2x+1)$。而 $x^2+2x+1=(x+1{)}^2$。

因此当 $x+1=0$ 时，原方程也成立。则本题共有三个解 $x=-1,0,1$。

解法二

直接提一个公因式 $x^6$ 然后照常因式分解，就可以省去分类讨论的步骤，实际上本质是一样的。

总结

对于这种高次方程，我们往往采用的是因式分解的方式。到中间我们无法分解时，就可以先试根再进行大除法进行因式分解。

第二题

函数 反比例函数 三角形

题面

在平面直角坐标系内，有一点 $A(-8,6)$。过 $A$ 作 $x$ 轴的垂线段于点 $B$。现有一反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 过 $AO$ 上点 $D$ 且 $D$ 为 $AO$ 中点，过 $AB$ 上点 $C$，求 $S_{\Delta BOC}$。

解法

首先我们需要求出 $D$ 的具体坐标才可以继续解题。由于 $O$ 为原点，因此 $AO$ 的中点 $D$ 实际上的坐标等于 $\left(\frac{-8}{2},\frac{6}{2}\right)$，即 $(-4,3)$。此时我们就很好求出反比例函数的解析式了。

代入 $x=-4,y=3$ 得 $3=\frac{k}{-4}$，解得 $k=-12$。又 $AB\perp BO$，因此 $C$ 的 $x$ 坐标同 $A$，即 $-8$。代入函数解析式得 $C$ 的 $y$ 坐标等于 $\frac{-12}{-8}=\frac{3}{2}$。

最后我们终于可以计算三角形的面积了，$S_{\Delta BOC}=\frac{1}{2}BO\cdot BC=\frac{1}{2}\times \frac{3}{2}\times 8=6$ 。

总结

本题较为简单，采用的是传统解法（可用于大多数反比例函数的题目）。首先在坐标轴上找出每个点的位置，然后利用这些点的坐标列出函数解析式的方程解出解析式，最后将数据代入解析式中进行计算即可。

第三题

对数 幂

题面

已知 $2^a=3^b=6^c=10$，求 $\frac{ab}{ac+bc}$ 的值。

解法

首先看到等式，我们可以使用对数函数来表示所有的字母

$$\{\begin{array}{l}a={\log }_{2}10=\frac{\log 10}{\log 2}\\ b={\log }_{3}10=\frac{\log 10}{\log 3}\\ c={\log }_{6}10=\frac{\log 10}{\log 6}\end{array}$$

现在我们计算 $ac$、$bc$ 和 $ac$

$$\{\begin{array}{l}ab=\frac{\log 10}{\log 2}\cdot \frac{\log 10}{\log 3}=\frac{{\log }^{2}10}{\log 2\cdot \log 3}\\ ac=\frac{\log 10}{\log 2}\cdot \frac{\log 10}{\log 6}=\frac{{\log }^{2}10}{\log 2\cdot \log 6}\\ bc=\frac{\log 10}{\log 3}\cdot \frac{\log 10}{\log 6}=\frac{{\log }^{2}10}{\log 3\cdot \log 6}\end{array}$$

然后代入要求的式子进行暴力化简计算

$$\begin{array}{rl}\frac{ab}{ac+bc}& =\frac{\frac{{\log }^{2}10}{\log 2\cdot \log 3}}{\frac{{\log }^{2}10}{\log 2\cdot \log 6}+\frac{{\log }^{2}10}{\log 3\cdot \log 6}}\\ & =\frac{\frac{{\log }^{2}10}{\log 2\cdot \log 3}}{\frac{{\log }^{2}10}{\log 6}(\frac{1}{\log 2}+\frac{1}{\log 3})}\\ & =\frac{\frac{{\log }^{2}10}{\log 2\cdot \log 3}}{\frac{{\log }^{2}10}{\log 6}\cdot \frac{\log 3+\log 2}{\log 2\cdot \log 3}}\\ & =\frac{\frac{{\log }^{2}10}{\log 2\cdot \log 3}}{\frac{{\log }^{2}10}{\log 2\cdot \log 3}}\\ & =1\end{array}$$

就这样，通过我们强大的对数功底，我们成功地解决了这道题目。

总结

本道题目较为传统，将所有字母均使用字母表示后代入要求解的式子，然后利用对数函数的运算规律以及我们代数的强大功底即可。

三角函数

诱导公式

口诀：奇变偶不变，符号看象限。

和差角公式

$$\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$$ $$\sin (\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta$$ $$\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$$ $$\cos (\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$$

和差化积公式

口诀：正加正，正在前，余加余，余并肩，正减正，余在前，余减余，负正弦。