一元二次方程

简介

含有一个未知数，未知数最高次数是 $2$ 的整式组成的方程，叫做一元二次方程。一元二次方程的一般形式是 $a x^{2} + b x + c = 0$ $(a \neq = 0)$ 。

令 $Δ = b^{2} - 4 a c$ ，若

采用配方法。先移项，将二次项系数化为 $1$ ，再利用等式的基本性质与完全平方公式配出平方。

a x^{2} + b x x^{2} + \frac{b}{a} x x^{2} + \frac{b}{a} x + (\frac{b}{2 a})^{2} (x + \frac{b}{2 a})^{2} = - c = \frac{- c}{a} = \frac{- c}{a} + (\frac{b}{2 a})^{2} = \frac{b ^{2} - 4 a c}{4 a ^{2}}

此时我们需要两侧开根，但是不要忽略特殊情况： $b^{2} - 4 a c < 0$ 。当这个值小于 $0$ 时， $b^{2} - 4 a c$ 在实数范围内不存在，因此该方程在实数范围内无解。否则

x + \frac{b}{2 a} x = \frac{\pm b ^{2} - 4 a c}{2 a} = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a}

由于 $0 = - 0$ ，我们再对 $b^{2} - 4 a c$ 是否等于 $0$ 进行分类讨论，就是上方结论的内容了。

可以通过因式分解将方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的左项分解成两个式子的乘积。由于右项为 $0$ ，因此这两个乘积当中必有一个为 $0$ ，对两方程分别求解即可。

一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ $(a \neq = 0)$ 两根分别为 $x_{1}, x_{2}$ ，则有

⎩ ⎨ ⎧ x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} x_{1} \times x_{2} = \frac{c}{a}

由求根公式可以得出 $x = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a}$ ，有

⎩ ⎨ ⎧ x_{1} + x_{2} = \frac{- b + b ^{2} - 4 a c}{2 a} + \frac{- b - b ^{2} - 4 a c}{2 a} = - \frac{b}{a} x_{1} \times x_{2} = \frac{- b + b ^{2} - 4 a c}{2 a} \times \frac{- b - b ^{2} - 4 a c}{2 a} = \frac{c}{a}