匀变加速直线运动

作者声明

「匀变加速直线运动」实际上不存在，是好渴鹅自创的。本章内容可能存在重大错误或遗漏，遇到问题请理性反馈。

摘要

众所周知，速度斜率不变（加速度不变）的直线运动叫做匀变速直线运动，高中只考这个，那有没有加速度斜率不变的匀速直线运动呢？

定义

可以看做 匀变速直线运动 的更高一维度的问题。

一个物体在 $t$ 的时间内位移为 $\Delta x$，则这段时间的平均速度 $\overline{v}=\frac{\Delta x}{t}$，平均加速度 $\overline{a}=\frac{\Delta v}{t}$，平均加加速度 $\overline{j}=\frac{\Delta a}{t}$（此处 $t$ 亦可写作 $t$）。当 $t\to 0$ 时，$\overline{v},\overline{a},\overline{j}$ 代表瞬时速度、加速度、加加速度。加加速度保持不变的直线运动叫做匀变加速直线运动。

位移公式

结论

若一个物体的初速度为 $v_0$，初加速度为 $a_0$，加加速度为 $j$，运动时长为 $t$，做匀变加速直线运动，则位移 $x=v_{0}t+\frac{1}{2}{a}_0{t}^2+\frac{1}{6}j{t}^3$。

推导

首先将加加速度 $j$ 的定义式进行变形。

$$\begin{array}{rl}j& =\frac{\Delta a}{t}\\ \Delta a& =jt\\ a& =a_0+jt\end{array}$$

我们可以得到，运动进行到 $t$ 时加速度 $a=a_0+jt$。我们知道，加速度函数是速度函数的导数，因此我们可以使用不定积分得到速度函数。

$$\int a_0+jt\text{d}t=a_{0}t+\frac{1}{2}j{t}^2+C$$

（参考匀变速直线运动公式的推导）显然 $t=0$ 时速度的增量也为 $0$，因此我们确定积分常量 $C=0$。加上初速度 $v_0$，得到运动进行到 $t$ 时速度 $v=v_0+a_{0}t+\frac{1}{2}j{t}^2$。

因为速度函数又是位移函数的导数，因此我们继续使用不定积分得到位移函数。

$$\begin{array}{rl}& \int v_0+a_{0}t+\frac{1}{2}j{t}^2\text{d}t\\ & =\int v_0\text{d}t+\int a_{0}t\text{d}t+\int \frac{1}{2}j{t}^2\text{d}t\end{array}$$

把所有的系数提到外面

$$\begin{array}{rl}& \int v_0\text{d}t+\int a_{0}t\text{d}t+\int \frac{1}{2}j{t}^2\text{d}t\\ & =\int v_0\text{d}t+\left(a_0\times \int t\text{d}t\right)+\left(\frac{1}{2}j\int t^2\text{dt}\right)\end{array}$$

$v_0$ 是常数项，这个很好求积。其余两项可以使用 幂次法则 进行积分。

$$\begin{array}{rl}& \int v_0\text{d}t+\left(a_0\times \int t\text{d}t\right)+\left(\frac{1}{2}j\int t^2\text{dt}\right)\\ & =v_{0}t+a_0\times \frac{t^2}{2}+\frac{1}{2}j\times \frac{t^3}{3}+C\\ & =v_{0}t+\frac{1}{2}{a}_0{t}^2+\frac{1}{6}j{t}^3+C\end{array}$$

由于 $t=0$ 时，位移为 $0$，因此积分常数 $C$ 确定为 $0$。因此我们得到结论，若一个物体的初速度为 $v_0$，初加速度为 $a_0$，加加速度为 $j$，运动时长为 $t$，做匀变加速直线运动，则该过程内位移 $x=v_{0}t+\frac{1}{2}{a}_0{t}^2+\frac{1}{6}j{t}^3$。

平均速度

由 $\overline{v}=\frac{x}{t}$，上面已经求出了 $x$，那么代入即可。

$$\begin{array}{rl}\overline{v}& =\frac{x}{t}\\ & =\frac{v_{0}t+\frac{1}{2}{a}_0{t}^2+\frac{1}{6}j{t}^3}{t}\\ & =v_0+\frac{1}{2}{a}_{0}t+\frac{1}{6}j{t}^2\end{array}$$

因此我们得到平均速度 $\overline{v}=v_0+\frac{1}{2}{a}_{0}t+\frac{1}{6}j{t}^2$。

推广

我们要善于总结规律。

• 匀速直线运动：位移 $x=vt$。
• 匀变速直线运动：位移 $x=v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2$。
• 匀变加速直线运动：位移 $x=v_{0}t+\frac{1}{2}{a}_0{t}^2+\frac{1}{6}j{t}^3$。

而速度函数是位移函数的导数，加速度函数是速度函数的导数，加加速度函数是加速度函数的导数。对于速度的 $n$ 阶导数值不变的情况下，位移的 $1$ 阶导初始值为 $x_1$，$2$ 阶导初始为 $x_2$，……，$n$ 阶导初始值为 $x_n$（$x_n$ 不变），运动时长为 $t$，那么位移

$$\begin{array}{rl}x& =x_{1}t+\frac{1}{2}{x}_2{t}^2+\frac{1}{2\times 3}{x}_3{t}^3+\cdots +\left(\frac{1}{\prod _{i=1}^{n}i}\right)x_n{t}^n\\ & =\sum _{i=1}^n\left[\left(\prod _{j=1}^i\frac{1}{j}\right)\cdot x_i{t}^i\right]\\ & =\sum _{i=1}^n\frac{x_i{t}^i}{i!}\end{array}$$