幂次法则

摘要

本文介绍了幂次法则，给出了其弱化版与普通版的证明，并通过求导与积分之间的关系成功证明了圆锥体积公式。

简介

微积分当中的幂次法则是求导法则之一，它描述了幂函数的导数。具体而言，对于 $f(x)=x^n$（$n$ 为实数），则 $f(x)$ 的导数 $f^{\prime }(x)=n{x}^{n-1}$。

弱化版

先来弱化版试试水：求 $f(x)=x^2$ 的导数 $f^{\prime }(x)$。

首先先从导数的定义入手，函数在某一点的导数就是该函数在这一点上的切线的斜率。我们知道在一条直线上任意取两点，斜率 $k=\frac{\Delta y}{\Delta x}$，其中 $\Delta x$ 和 $\Delta y$ 是这两点的坐标之差。那么导数的定义就很简单了：

$$f^{\prime }(x)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$

将 $f(x)=x^2$ 代入进去，然后通过平方差公式分解成两个式子的乘积，再通过分数的基本性质进行约分，化简即可。

$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x)& =\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{(x+\Delta x{)}^2-x^2}{\Delta x}\\ & =\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{(2x+\Delta x)\Delta x}{\Delta x}\\ & =\underset{\Delta x\to 0}{\lim }(2x+\Delta x)\\ & =2x\end{array}$$

因此，$f(x)=x^2$ 的导数 $f^{\prime }(x)=2x$。

证明

现在我们来证明 $f(x)=x^n$ （$n$ 为实数）的导数 $f^{\prime }(x)=n{x}^{n-1}$。

首先我们根据导数的定义出发，将 $f(x)$ 代入进去。

$$f^{\prime }(x)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{(x+\Delta x{)}^n-x^n}{\Delta x}$$

然后我们使用广义二项式定理 $(a+b{)}^n=\sum _{i=0}^{\infty }(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})a^{n-i}{b}^n$ 展开 $(x+\Delta {)}^n$，其中 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}\right)$ 是广义二项式系数。

$$f^{\prime }(x)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\sum _{i=0}^{\infty }\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}\right)x^{n-i}(\Delta x{)}^i-x^n}{\Delta x}$$

不难发现当 $i=0$ 的时候，$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}\right)x^{n-i}(\Delta x{)}^i=x^n$，因此把它提出来，正好与 $-x^n$ 形成了相反数，可以去掉。

$$f^{\prime }(x)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\sum _{i=1}^{\infty }\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}\right)x^{n-i}(\Delta x{)}^i}{\Delta x}$$

通过分数的基本性质把 $\Delta x$ 约掉。

$$f^{\prime }(x)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{\infty }\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}\right)x^{n-i}(\Delta x{)}^{i-1}$$

此时关键的一步来了：当 $\Delta x\to 0$ 时，只有当 $i=1$ 的时候 $(\Delta x{)}^{i-1}$ 才不为 $0$，可以发觉只有这时 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}\right)x^{n-i}(\Delta x{)}^{i-1}$ 也不为 $0$，因此我们将求和去掉，将 $i=1$ 代入进去，得到

$$f^{\prime }(x)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1}\right)x^{n-1}=n{x}^{n-1}$$

因此我们成功证明了幂次法则。

积分

幂次法则是求导法则之一，但是幂次法则也可以是积分法则。我们知道求导与积分是一对互逆的运算。简单来说，假如函数 $f(x)$ 的导数是 $f^{\prime }(x)$，那么对 $f^{\prime }(x)$ 求积的值就等于原函数 $f(x)$ 的值加上积分常数，即 $\int f^{\prime }(x)\text{d}x=f(x)+C$。

那么我们转换一下思路。既然 $f(x)=x^n$ 的导函数是 $f^{\prime }(x)=n{x}^{n-1}$，那么我们对 $f^{\prime }(x)$ 求积的值就等于 $f(x)$。即

$$\int n{x}^{n-1}\text{d}x=x^n+C$$

当然，也有

$$\int x^n\text{d}x=\frac{1}{n+1}{x}^{n+1}+C$$

利用这个公式，我们可以轻松证明一个半径为 $r$ 高度也为 $r$ 的圆锥它的体积是 $\frac{1}{3}\pi r^3$。我们可以先对函数 $f(x)=\pi x^2$ 进行求积，$f(x)$ 代表每一个平面的面积，然后使用上述公式并化简即可（这里积分常数 $C=0$¹）。

定积分的值可以使用牛顿·莱布尼茨公式²求，这里由于原函数当中左边界对应的值为 $0$，因此我们只用算右边界就行了。由于我们的 $f^{\prime }(x)=x^2$ 正好是 $f(x)=\frac{1}{3}{x}^3$ 的导数，因此我们只需要计算 $f(r)$。

$$\begin{array}{rl}{\int }_0^r\pi x^2\text{d}x& =\pi \times {\int }_0^r{x}^2\text{d}x\\ & =\frac{1}{3}\pi r^3\end{array}$$

对于高度为 $h$ 且 $h\ne r$ 的圆锥，我们只需要使用「空间扭曲之术」（其实就是拿 $\frac{x}{h}$ 的比乘上 $r$ 来求出每一平面的面积）即可。

$$\begin{array}{rl}{\int }_0^h\pi {\left(\frac{rx}{h}\right)}^2\text{d}x& ={\int }_0^h\pi \times \frac{r^2}{h^2}\times x^2\text{d}x\\ & =\frac{\pi r^2}{h^2}\times {\int }_0^h{x}^2\text{d}x\\ & =\frac{1}{3}{h}^3\times \frac{\pi r^2}{h^2}\\ & =\frac{1}{3}\pi r^{2}h\end{array}$$

Footnotes

1. 对于函数 $f(x)=x^n+k$，它的导函数 $f^{\prime }(x)$ 均为 $n{x}^{n-1}$，而在求积的时候无法还原常数 $k$，因此红色部分不知道，即为积分常数 $C$。这里我们已经知道了红色部分的面积是 $0$，因此可以省略积分常数。 ↩

2. 如果函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 内连续，并且存在原函数 $F(x)$ 其导数为 $f(x)$，则有 $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\text{d}x=F(b)-F(a)$。 ↩