匀变速直线运动

结论

初速度为 $v_{0}$ ，加速度为 $a$ ，时间为 $Δ t$ ，则末速度

v = v_{0} + a Δ t

位移

x = v_{0} Δ t + \frac{1}{2} a Δ t^{2}

平均速度

\overline{v} = \frac{x}{Δ t} = \frac{v _{0} + v}{2} = v_{t /2} = v_{0} + \frac{1}{2} a Δ t

位移与速度的关系

2 a x = v^{2} - v_{0}^{2}

以下令 $v_{0}$ 等于初始时间点， $v$ 为结束时间点。

首先我们来看一下平均加速度的定义式

a = \frac{Δ v}{Δ t} = \frac{v - v _{0}}{t - t _{0}}

$Δ t$ 写作 $t$ 亦可。由于这里是匀变速直线运动，因此平均加速度就等于瞬时加速度。考虑变形，得到

v - v_{0} v = a t = v_{0} + a t

不难发现 $t_{0}$ 到 $t$ 过程的位移就是图像与 $t$ 轴围成的面积。考虑定积分

x = \int_{t_{0}}^{t} v_{0} + a (x - t_{0}) d x = \int_{0}^{Δ t} v_{0} + a x d x

根据牛顿·布莱茨尼公式¹，我们可以先通过不定积分求出原函数，再进行作差

\int v_{0} + a x d x = \int v_{0} d x + \int a x d x

$v_{0}$ 是常数项，积分结果为

\int v_{0} d x = v_{0} x + C

$a x$ 的话，我们可以先将 $a$ 提到外面，此时 $x^{2}$ 的积分结果就很清楚了

\int a x d x = a \times \int x d x = \frac{a x ^{2}}{2} + C

把他们的结果相加，就得到了

\int v_{0} + a x d x = v_{0} x + \frac{a x ^{2}}{2} + C

现在我们已经求出了原函数 $F (x) = v_{0} x + \frac{a x ^{2}}{2} + C$ ，我们用它们相减得到（ $C$ 被干没了）

x = \int_{0}^{Δ t} v_{0} + a x d x = F (Δ t) - F (0) = v_{0} Δ t + \frac{1}{2} a Δ t^{2}

\overline{v} = \frac{x}{Δ t} = \frac{v _{0} + v}{2} = v_{t /2} = v_{0} + \frac{1}{2} a Δ t

首先平均速度的定义式就是 $\overline{v} = \frac{x}{Δ t}$ ，这个无法证明，但是我们可以用来证明其它的公式。证明过程也非常简单

\frac{v _{0} + v}{2} = \frac{2 v _{0} + a Δ t}{2} = v_{0} + \frac{1}{2} a Δ t = v_{t /2} = \frac{v _{0} t + \frac{1}{2} a Δ t ^{2}}{t} = \frac{x}{Δ t}

v^{2} - v_{0}^{2} = (v_{0} + a Δ t)^{2} - v_{0}^{2} = (2 v_{0} + a Δ t) \times a Δ t = 2 v_{0} a Δ t + a^{2} Δ t^{2} = a \times (2 v_{0} Δ t + a Δ t^{2}) = 2 a \times (v_{0} Δ t + \frac{1}{2} a Δ t^{2}) = 2 a x

与 $t$ 无关时优先使用位移速度公式，与 $t$ 有关优先使用平均速度公式，位移公式尽量少用，计算相对复杂。

如果函数 $f (x)$ 在区间 $[a, b]$ 内连续，并且存在原函数 $F (x)$ 其导数为 $f (x)$ ，则有 $a \int b f (x) d x = F (b) - F (a)$ 。 ↩